„Auch spielt das Zufällige, Unberechenbare, Inkommensurable eine zu große Rolle. Unsere Gesetze fußen nur auf Wahrscheinlichkeit, auf Statistik, nicht auf der Kausalität, treffen nur im allgemeinen zu, nicht im besonderen. Der einzelne steht außerhalb der Berechnungen.“

Dürrenmatt „Der Richter und sein Henker“ 1958, S. 15 ff.

Einleitung

Das folgende Rätsel über das „Versprechen des Henkers“ erzählte mir seinerzeit mein alter Mathelehrer in der Schule. Es ist eine Abwandlung vom Henkerparadoxon. Warum zum Henker ist es nur so kniffelig? 😉

Das Rätsel „Das Versprechen des Henkers“

Ein Versprechen

Ein Mann soll hingerichtet werden. Das Urteil muss in den nächsten 100 Tagen vollstreckt werden. Außerdem verspricht ihm der Henker, dass der Verurteilte am Tag vorher nicht wissen wird, ob er am nächsten Tag hingerichtet werden wird, oder nicht.

Ein Gedankenspiel

Der Mann überlegt sich: „Wenn ich am vorletzten Tag noch nicht tot bin, so muss ich ja zwangsläufig am letzten Tag hingerichtet werden. Dann aber wüsste ich ja Bescheid darüber, und könnte wegen des Versprechen des Henkers an dem Tag nicht mehr hingerichtet werden. Damit fällt also der letzte Tag als Vollstreckungstermin weg. Dann aber muss ich an einem der anderen 99 Tagen hingerichtet werden. Wenn ich nun aber auch am 98. Tag noch lebe, so weiß ich ja, dass am 99. Tag meine Hinrichtung stattfindet. Auch dass würde wieder dem Versprechen des Henkers widersprechen. Also kann der Henker mich auch am 99. Tag nicht hinrichten …. usw.“

Der Mann kommt zu dem Schluss, dass der Henker sein Versprechen niemals halten kann. Stimmt das?

Die Antwort

Nein, das stimmt nicht.

Beweis

Beh.: Die Behauptung: „Der Henker kann sein Versprechen niemals halten.“ ist falsch.

Beweis:

Zeige: ∃ ein Fall für die 100 Tage, in dem der Henker sein Versprechen halten kann.

(Wir verallgemeinern und setzen später N=100 .)

• Sei A_n das Ereignis, dass der Mann am n-ten Tag hingerichtet wird.

Der existierende Fall, in dem der Henker sein Versprechen hält, ist wie folgt …

Der Henker hält sein Versprechen

Vor dem ersten Tag kann der Henker trivialer Weise sein Versprechen halten.

• Daraus folgt auch, dass am Morgen (der Morgen beginnt um 0:00 Uhr) des ersten Tages die Wahrscheinlichkeit p₁(A_n) = 1/(N-(1-1)) =1/N für alle n ∈ {1,2,3, … ,N} ist.
• Am Morgen des zweiten Tages ist p₂(A_n)= 1/(N-(2-1)) für alle n ∈ {2,3, … ,N} … usw.
• … bis sie am Morgen des vorletzten Tages p_N-1(A_n) = 1/(N-((N-1)-1)) = 1/2 = 50% für alle n ∈ {N-1 ,N} und
• am Morgen des letzten Tages p_N(A_n) = 1/N-(N-1) = 1 = 100% für alle n ∈ {N}.

Das heißt in der Nacht vor dem letzten Tag, sagen wir um 23:59 Uhr, wenn der Mann mit dem Kopf in der Schlinge liegt, ist die Wahrscheinlichkeit p_N-1(A_N)=50%, und eine Minute später um 0:00 Uhr ist p_N(A_N)=100%.

Doch wusste der Mann an keinem Tag (sicher), ob er am nächsten Tag hingerichtet würde, und der Henker hat sein Versprechen gehalten. Es gab immer nur eine Wahrscheinlichkeit p_i(A_i)≠0 mit i ∈ {1,2,3, … ,N} für den nächsten Tag i, dass er dann hingerichtet würde.

Der Tod ist sicher

Der Mann wird in diesem Szenario auch an einem der N Tage hingerichtet werden, denn am ersten Tag ist p₁(A_n) = 1/N für alle n ∈ {1,2,3, … ,N} und wenn weiterhin p_Gesamt die Wahrscheinlichkeit am Morgen des ersten Tages ist, dass er an einem beliebigen der N Tage hingerichtet wird, dann folgt p_Gesamt = 100%. Denn

p_Gesamt = p₁(A₁⋁A₂⋁A₃⋁…⋁A_N) = p₁(A₁) + p₁(A₂) + p₁(A₃) + … + p₁(A_N) = N*p₁(A₁) = N * 1/N = 1 = 100%

D.h. für diesen Fall: Das Versprechen des Henkers wurde gehalten und der Mann wird an einem der N Tage hingerichtet.

Setze noch N = 100 und

q.e.d.

Fazit zum Versprechen des Henkers

Insbesondere weiß der Mann an keinem Tag, ob er am nächsten Tag hingerichtet werden wird. Der Grund für den Fehler im Gedankenspiel des Mannes liegt darin, dass er falsch mit A-Priori-Wahrscheinlichkeiten umgegangen ist. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich von Tag zu Tag durch das Ereignis am jeweiligen Tag. Wird der Mann z.B. am i-ten Tag hingerichtet, so ist p_i+1(A_n) = 0 für alle n ∈ {i+1, i+2, … ,N}.

Das ursprüngliche Henkerparadoxon lautet etwas anders. Dort wird festgelegt, dass der Mann immer genau zur Mittagsstunde hingerichtet werden wird. Dadurch entsteht dann tatsächlich ein Paradoxon, denn der Mann kann zwischen Mittagsstunde und Mitternacht eine Vorahnung für den nächsten Tag haben. Durch sein Gedankenspiel kann der Mann zwar zu dem Schluss kommen, dass er an keinem Tag hingerichtet werden kann, aber genau durch diesen Schluss ist der Tot für ihn an jedem Tag wiederum unerwartet. Der Henker hält wieder sein Versprechen.

Mehr Logikrätsel gibt es übrigens hier.

SH, 28.3.2019